Question

1．如圖，已知拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C
（1）求點A，B，C的坐標；
（2）點E是此拋物線上的點，點F是其對稱軸上的點，求以A，B，E，F(xiàn)為頂點的平行四邊形的面積；
（3）此拋物線的對稱軸上是否存在點M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）分別令y=0，x=0，即可解決問題．
（2）由圖象可知AB只能為平行四邊形的邊，分E點為拋物線上的普通點和頂點2種情況討論，即可求出平行四邊形的面積．
（3）分A、C、M為頂點三種情形討論，分別求解即可解決問題．

解答 解：（1）令y=0得-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+2=0，
∴x²+2x-8=0，
x=-4或2，
∴點A坐標（2，0），點B坐標（-4，0），
令x=0，得y=2，∴點C坐標（0，2）．
（2）由圖象①AB為平行四邊形的邊時，
∵AB=EF=6，對稱軸x=-1，
∴點E的橫坐標為-7或5，
∴點E坐標（-7，-$\frac{27}{4}$）或（5，-$\frac{27}{4}$），此時點F（-1，-$\frac{27}{4}$），
∴以A，B，E，F(xiàn)為頂點的平行四邊形的面積=6×$\frac{27}{4}$=$\frac{81}{2}$．
②當點E在拋物線頂點時，點E（-1，$\frac{9}{4}$），設(shè)對稱軸與x軸交點為M，令EM與FM相等，則四邊形AEBF是菱形，此時以A，B，E，F(xiàn)為頂點的平行四邊形的面積=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{9}{2}$=$\frac{27}{2}$．
（3）如圖所示，①當C為等腰三角形的頂角的頂點時，CM₁=CA，CM₂=CA，作M₁N⊥OC于N，
在RT△CM₁N中，CN=$\sqrt{C{{M}_{1}}^{2}-{M}_{1}{N}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴點M₁坐標（-1，2+$\sqrt{7}$），點M₂坐標（-1，2-$\sqrt{7}$）．
②當M₃為等腰三角形的頂角的頂點時，∵直線AC解析式為y=-x+2，
∴線段AC的垂直平分線為y=x與對稱軸的交點為M₃（-1．-1），
∴點M₃坐標為（-1，-1）．
③當點A為等腰三角形的頂角的頂點的三角形不存在．
綜上所述點M坐標為（-1，-1）或（-1，2+$\sqrt{7}$）或（-1，2-$\sqrt{7}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線與坐標軸交點的求法，學(xué)會分類討論的思想，屬于中考壓軸題．