Question

13．如圖，拋物線y₁=-ax²+2ax-a-3（a＞0）和y₂=a（x+1）²-1（a＞0）的頂點(diǎn)分別為M、N，與y軸分別交于E、F．
（1）①函數(shù)y₁=-ax²+2ax-a-3（a＞0）的最大值是-3；
②當(dāng)y₁、y₂的值都隨x的增大而增大時(shí)，自變量x的取值范圍是-1≤x≤1；
（2）當(dāng)EF=MN時(shí)，求a值，并判斷四邊形EMFN是何種特殊的四邊形；
（3）若y₂=a（x+1）²-1（a＞0）的圖象與x軸的右交點(diǎn)為A（m，0），當(dāng)△AMN為等腰三角形時(shí)，求方程a（x+1）²-1=0的解．

Answer 1

分析 （1）①利用配方法得到y(tǒng)₁=-a（x-1）²-3，可得到函數(shù)的最大值；②依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷出每個(gè)二次函數(shù)y隨x的增大而增大的范圍，然后再求得其公共部分即可；
（2）由函數(shù)解析式可知：N（-1，-1），M（1，-3），依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可求得MN=2$\sqrt{2}$，然后再求得點(diǎn)F、E的坐標(biāo)，然后依據(jù)EF=MN可求得a的值，作NC⊥y軸于C，MD⊥y軸于D，然后證明△NCF≌MDE，可得到NF=EM，NF‖EM
則四邊形EMFN是平行四邊形，然后由NM=EF可得到四邊形EMFN的形狀；
（3）依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得到AN²=m²+2m+2，AM²=m²-2m+10，MN²=8，然后分為AN=AM，AN=MN，AM=MN，三種情況求得m的值，從而得到方程的一個(gè)解，然后利用拋物線的對(duì)稱性可求得方程的另一個(gè)解．

解答 解：（1）①y₁=-ax²+2ax-a-3=-a（x²-2x+1）-3=-a（x-1）²-3，
∴函數(shù)y₁=-ax²+2ax-a-3（a＞0）的最大值是-3．
故答案為：-3．
②∵y₁=-a（x-1）²-3，-a＜0，
∴當(dāng)x≤1時(shí)，y隨x的增大而增大．
∵y₂=a（x+1）²-1（a＞0），
∴當(dāng)x≥-1時(shí)，y隨x的增大而增大．
∴當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，y₁、y₂的值都隨x的增大而增大．

（2）∵y₁=-a（x-1）²-3，y₂=a（x+1）²-1，
∴N（-1，-1），M（1，-3）．
由兩點(diǎn)間的距離公式可知：MN=2$\sqrt{2}$．
令x=0得：y₁=-a-3，y₂=a-1．
∴F（0，a-1），E（0，-a-3）．
∴EF=2a+2．
∵EF=MN，
∴2a+2=2$\sqrt{2}$，解得：a=$\sqrt{2}$-1．

作NC⊥y軸于C，MD⊥y軸于D
∴NC=1，F(xiàn)C=a，MD=1，DE=a
∵在Rt△CNF和Rt△MDE中，$\left\{\begin{array}{l}{CF=DE}\\{∠NCF=∠MDE}\\{CN=MD}\end{array}\right.$，
∴△NCF≌MDE．
∴NF=EM，∠NFC=∠DEM
∴NF‖EM
∴四邊形EMFN是平行四邊形
又∵NM=EF
∴四邊形EMFN是矩形．

（3）∵A（m，0）M（1，-3）N（-1，-1），
∴AN²=m²+2m+2，AM²=m²-2m+10，MN²=8．
①若AN=AM，則m²+2m+2=m²-2m+10，解得：m=2，
∴方程a（x+1）²-1=0的一個(gè)解為x=2，
根據(jù)拋物線對(duì)稱性，可知方程的另一個(gè)解為x=-4．
②若AN=MN，則m²+2m+2=8，解得：m=-1+$\sqrt{7}$或m=-1-$\sqrt{7}$（舍去），
所以方程a（x+1）²-1=0的一個(gè)解為x=-1+$\sqrt{7}$，
根據(jù)拋物線對(duì)稱性，可知方程的另一個(gè)解為x=-1-$\sqrt{7}$．
③若AM=MN，所以m²-2m+10=8，
此方程無(wú)解，所以此種情況不成立
綜上所述當(dāng)△AMN為等腰三角形時(shí)，方程a（x+1）²-1=0的解為x₁=2，x₂=-4或x₁=-1$+\sqrt{7}$或x2=-1-$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了二次函數(shù)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的定義、矩形的判定，證得△NCF≌MDE是解答問(wèn)題（2）的關(guān)鍵，分類討論是解答問(wèn)題（3）的關(guān)鍵．