Question

7．如圖1，AB為半圓O的直徑，D為BA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DC為半圓O的切線，切點(diǎn)為C．
（1）求證：∠ACD=∠B；
（2）如圖2，∠BDC的平分線分別交AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)；
①求tan∠CFE的值；
②若AC=3，BC=4，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用等角的余角相等即可證明．
（2）①只要證明∠CEF=∠CFE即可．
②由△DCA∽△DBC，得$\frac{DC}{DB}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{DA}{CD}$=$\frac{3}{4}$，再由△DCE∽△DBF，得$\frac{EC}{BF}$=$\frac{DC}{DB}$，設(shè)EC=CF=x，列出方程即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，連接OC．
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∵CD是⊙O切線，
∴OC⊥CD，
∴∠DCO=90°，
∴∠3+∠2=90°，
∵AB是直徑，
∴∠1+∠B=90°，
∴∠3=∠B．
（2）解：①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠FDB，
∵∠CDE=∠FDB，∠ECD=∠B，
∴∠CEF=∠CFE，∵∠ECF=90°，
∴∠CEF=∠CFE=45°，
∴tan∠CFE=tan45°=1．
②在RT△ABC中，∵AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∵∠CDA=∠BDC，∠DCA=∠B，
∴△DCA∽△DBC，
∴$\frac{DC}{DB}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{DA}{CD}$=$\frac{3}{4}$，
∵∠CDE=∠BDF，∠DCE=∠B，
∴△DCE∽△DBF，
∴$\frac{EC}{FB}$=$\frac{DC}{DB}$=$\frac{3}{4}$，設(shè)EC=CF=x，
∴$\frac{x}{4-x}$=$\frac{3}{4}$，
∴x=$\frac{12}{7}$．
∴CE=$\frac{12}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問題，屬于中考�？碱}型．