Question

13．已知關(guān)于x的一元二次方程x²$+2x+\frac{k-1}{2}=0$有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，k為正整數(shù)．
（1）求k的值；
（2）當(dāng)此方程有一根為零時(shí)，直線y=x+2與關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²+2x$+\frac{k-1}{2}$的圖象交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），若M是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸，交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)N，求線段MN的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）將（2）中的二次函數(shù)圖象x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分保持不變，翻折后的圖象與原圖象x軸上方的部分組成一個(gè)“W”形狀的新圖象，若直線y=$\frac{1}{2}x$+b與該新圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)求出此時(shí)b的值．
（4）在（2）的條件下，若P是平面上的一點(diǎn)，以M、N、A、P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，請(qǐng)直接寫出此時(shí)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程根的判別式，確定出k的范圍，結(jié)合k為正整數(shù)，即可求解；
（2）根據(jù)一元二次方程的一個(gè)根為0，確定出k，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x}\\{y=x+2}\end{array}\right.$確定出交點(diǎn)坐標(biāo)，最后建立MN與m的函數(shù)關(guān)系式，即可；
（3）根據(jù)圖象的特點(diǎn)，分兩種情況討論，分別求出b的值即可；
（4）根據(jù)點(diǎn)A，M，N的坐標(biāo)，確定出AM，AN，MN，判斷出不存在滿足條件的菱形．

解答 解：（1）關(guān)于x的一元二次方程x²$+2x+\frac{k-1}{2}=0$有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=b²-4ac=4-4×$\frac{k-1}{2}$＞0，k-1＜2，
解得k＜3，
∵k為正整數(shù)，
∴k=1，2；
（2）如圖1，

當(dāng)x=0時(shí)，$\frac{k-1}{2}$=0．解得k=1．
當(dāng)k=1時(shí)，二次函數(shù)為y=x²+2x．
聯(lián)立拋物線與直線，得
$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（-2，0），B（1，3）．
設(shè)M（m，m+2），其中-2＜m＜1，N（m，m²+2m），
MN=m+2-（m²+2m）=-m²-m+2=-（m+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
當(dāng)m=-$\frac{1}{2}$時(shí)，MN_最大=$\frac{9}{4}$，此時(shí)M（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
（3）①當(dāng)直線y=$\frac{1}{2}$x+b過(guò)A點(diǎn)時(shí)，直線y=$\frac{1}{2}x$+b與該新圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，如圖2，

將A點(diǎn)坐標(biāo)代入，得$\frac{1}{2}$×（-2）+b=0．
解得b=1；
②當(dāng)y=$\frac{1}{2}$x+b與新圖象的封閉部分有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線與新圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，
由于新圖象的封閉部分與原圖象的封閉部分關(guān)于x軸對(duì)稱，所以其解析式為y=-x²-2x
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+b}\\{y=-{x}^{2}-2x}\end{array}\right.$有一組解
得-x²-$\frac{5}{2}$x-b=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
（-$\frac{5}{2}$）²-4×（-1）×（-b）=0，
解得b=$\frac{25}{16}$，
綜上所述：直線y=$\frac{1}{2}x$+b與該新圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)b的值為1或$\frac{25}{16}$；
（4），由（2）有，A（-2，0），M（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），N（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{4}$），
∴MN=$\frac{9}{4}$，AM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，AN=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$，
∴MN，AM，AN中沒有相等的線段，
∴平面內(nèi)容，不存在點(diǎn)P，使以M、N、A、P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了根的判別式的應(yīng)用，還考查了兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，難點(diǎn)在于（3）求出直線與拋物線有3個(gè)交點(diǎn)的情況，根據(jù)題意分類討論，并且作出圖形更利于解決問(wèn)題．