Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C、G是⊙O上兩點，且C是弧AG的中點，過點C的直線CD⊥BG的延長線于點D，交BA的延長線于點E，連接BC，交OD于點F．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若，求證：AE=AO；

（3）連接AD，在（2）的條件下，若CD=2，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）∠E=30°；（3）

【解析】

試題分析：（1）如圖1，連接OC，AC，CG，由圓周角定理得到∠ABC=∠CBG，根據同圓的半徑相等得到OC=OB，于是得到∠OCB=∠OBC，等量代換得到∠OCB=∠CBG，根據平行線的判定得到OC∥BG，即可得到結論；

（2）由OC∥BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得到，，根據直角三角形的性質即可得到結論；

（3）如圖2，過A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到BD=6，DE=6，BE=12，在Rt△DAH中，AD=，求出答案即可．

試題解析：（1）如圖1，連接OC，AC，CG，

∵AC=CG，

∴，

∴∠ABC=∠CBG，

∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC，

∴∠OCB=∠CBG，

∴OC∥BG，

∵CD⊥BG，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線；

（2）∵OC∥BD，

∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，

∴，

∴，

∵OA=OB，

∴AE=OA=OB，

∴OC=OE，

∵∠ECO=90°，

∴∠E=30°；

（3）如圖2，過A作AH⊥DE于H，

∵∠E=30°

∴∠EBD=60°，

∴∠CBD=∠EBD=30°，

∵CD=2，

∴BD=6，DE=6，BE=12，

∴AE=BE=4，

∴AH=2，

∴EH=2，

∴DH=4，

在Rt△DAH中，AD==2．