Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，BC=5，CF=3，BF=4．求證：DE∥FC．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的逆定理

專題：證明題

分析：首先由四邊形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，易得BC=DC，∠BCF=∠ECD，又由CE=CF，利用SAS即可證得△BCF≌△DCE，再延長(zhǎng)BF交DE于H，由△BCF≌△DCE，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可得BF=DE，又由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，易求得∠CDE+∠2=90°，則可得BF⊥DE，再根據(jù)由BC=5，CF=3，∠BFC=90°，利用勾股定理即可求得BF的長(zhǎng)，又由△BCF≌△DCE，即可得DE的長(zhǎng)，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90°，進(jìn)而證明DE∥FC．

解答：證明：延長(zhǎng)BF交DE于H，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，BC=CD，
∴∠BCF+∠FCD=90°，
∵△ECF是等腰直角三角形，CF=CE，
∴∠ECD+∠FCD=90°，
∴∠BCF=∠ECD．
在△BCF和△DCE中，

BC=DC ∠BCF=∠DCE CF=CE

，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
延長(zhǎng)BF交DE于H，
∴BF=DE，∠CBF=∠CDE，
∵∠CBF+∠1=90°，∠1=∠2，
∴∠2+∠CDE=90°，
∴∠DHF=90°，
∴BF⊥DE，
在△BFC中，BC=5，CF=3，∠BFC=90°，
∴BF=

BC2-BF2

=4．
∵△BCF≌△DCE，
∴DE=BF=4，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90°．
∴DE∥FC．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．