Question

17．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于點(diǎn)G，下列結(jié)論：①CE=CF，②∠AEB=75°，③AG=2GC，④BE+DF=EF，⑤S_△CEF=2S_△ABE，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 2個(gè)
• B． 3個(gè)
• C． 4個(gè)
• D． 5個(gè)

Answer 1

分析 通過條件可以得出△ABE≌△ADF，從而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，得到CE=CF；由正方形的性質(zhì)就可以得出∠AEB=75°；設(shè)EC=x，由勾股定理得到EF，表示出BE，利用三角形的面積公式分別表示出S_△CEF和2S_△ABE，再通過比較大小就可以得出結(jié)論．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等邊三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∴CE=CF，故①正確；
∵∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，
即∠DAF=15°，
∴∠AEB=75°，故②正確；
設(shè)EC=x，由勾股定理，得
EF=$\sqrt{2}$x，CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，
∴AG≠2GC，③錯(cuò)誤；
∵CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，AG=$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，
∴AC=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$x
∴AB=AC•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$x，
∴BE=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$x-x=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$x，
∴BE+DF=（$\sqrt{3}$-1）x，
∴BE+DF≠EF，故④錯(cuò)誤；
∵S_△CEF=$\frac{1}{2}$x²，
S_△ABE=$\frac{1}{2}$×BE×AB=$\frac{1}{2}×$$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$x×$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$x=$\frac{1}{4}$x²，
∴2S_△ABE═S_△CEF，故⑤正確．
綜上所述，正確的有3個(gè)，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答本題時(shí)運(yùn)用勾股定理的性質(zhì)解題時(shí)關(guān)鍵．