Question

如圖所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，AE是△ABC的外角∠DAC的平分線，BF是∠ABC的平分線，BF的延長線交AE于E．
（1）求證：AF=FB=BC；
（2）求證：

EF

BF

=

BC

FC

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）由條件可求得∠FBA=BAC=∠FBC=36°，∠BFC=∠BCF=72°，可得AF=FB=BC；
（2）由條件可證明AE∥BC，則可得

EF

BF

=

AF

FC

，結(jié)合（1）AF=BC，代入可證得結(jié)論．

解答：證明：（1）∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠FBC=36°，
∴∠ABF=∠BAC，
∴AF=BF，
又∠BFC=∠BAF+∠FBA=72°=∠ACB，
∴BF=BC，
∴AF=FB=BC；
（2）∵∠BAC=36°，
∴∠DAC=144°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠EAF=72°=∠ACB，
∴AE∥BC，
∴

EF

BF

=

AF

FC

，
∵AF=BC，
∴

EF

BF

=

BC

FC

．

點評：本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)及平行線分線段成比例，掌握等角對等邊是解題的關(guān)鍵，注意三角形內(nèi)角和定理的靈活運(yùn)用．