Question

已知在△ABC中，tan∠B=2，tan∠C=3，BC=5，點D、E分別在邊AB、AC上，且DE∥BC，把△ADE沿直線DE翻折，點A落在點P處，若點P到直線BC的距離為2，求DE的長．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：如圖1，若點P在△ABC的內(nèi)部時，根據(jù)題意結(jié)合圖形求出AQ的長度，進(jìn)而求出AM的長度，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出DE的長度；如圖2，當(dāng)點P在△ABC的外部時類比前面的解法，同理可求出DE的長度．

解答：解：如圖1，當(dāng)點P在△ABC的內(nèi)部時，
連接AP并延長交BC于點Q，交DE于點M；
由題意得：AP⊥DE，而DE∥BC，
∴AP⊥BC，即PQ⊥BC，
∴PQ=2；
設(shè)BQ=x，CQ=y，則x+y=5；
∵tan∠B=2，tan∠C=3，
∴

AQ

x

=2，

AQ

y

=3，
∴x：y=3：2，
又∵x=y=5，
∴x=3，y=2；
∴AQ=2x=6，AP=6-2=4；
∴AM=

1

2

AP=2；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

DE

BC

=

AM

AQ

，
∴DE=

2×5

6

=

5

3

，
即DE的長為

5

3

．
如圖2，當(dāng)點P在△ABC的外部時，
連接AP交BC于點Q，AP交DE于點M；
由圖1知：
AQ=6，PQ=2，
∴AP=8，AM=

1

2

AP=4；
類比以上解法，
同理可求DE=

10

3

，
即DE的長為

10

3

．

點評：該命題以三角形為載體，以翻折變換為方法，綜合考查了直角三角形的邊角關(guān)系、相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用等幾何知識點；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．