Question

如圖，已知直徑為OA的⊙P與x軸交于O、A兩點(diǎn)，點(diǎn)B、C把三等分，連接PC并延長(zhǎng)PC交y軸于點(diǎn)D（0，3）．
（1）求證：△POD≌△ABO；
（3）若直線(xiàn)l：y=kx+b經(jīng)過(guò)圓心P和D，求直線(xiàn)l的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先連接PB，由直徑為OA的⊙P與x軸交于O、A兩點(diǎn)，點(diǎn)B、C把三等分，可求得∠APB=∠DPO=60°，∠ABO=∠POD=90°，即可得△PAB是等邊三角形，可得AB=OP，然后由ASA，即可判定：△POD≌△ABO；
（2）易求得∠PDO=30°，由OP=OD•tan30°，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法，即可求得直線(xiàn)l的解析式．
解答：（1）證明：連接PB，
∵直徑為OA的⊙P與x軸交于O、A兩點(diǎn)，點(diǎn)B、C把三等分，
∴∠APB=∠DPO=×180°=60°，∠ABO=∠POD=90°，
∵PA=PB，
∴△PAB是等邊三角形，
∴AB=PA，∠BAO=60°，
∴AB=OP，∠BAO=∠OPD，
在△POD和△ABO中，

∴△POD≌△ABO（ASA）；

（2）解：由（1）得△POD≌△ABO，
∴∠PDO=∠AOB，
∵∠AOB=∠APB=×60°=30°，
∴∠PDO=30°，
∴OP=OD•tan30°=3×=，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（-，0）
∴，
解得：，
∴直線(xiàn)l的解析式為：y=x+3．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，注意準(zhǔn)確作出輔助線(xiàn)，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．