Question

14．拋物線C₁：y=x²-1（-1≤x≤1）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線C₂與拋物線C₁關(guān)于點(diǎn)A中心對稱，拋物線C₃與拋物線C₁關(guān)于點(diǎn)B中心對稱．若直線y=-x+b與由C₁、C₂、C₃組成的圖形恰好有2個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值或取值范圍是b=-$\frac{5}{4}$或-$\frac{3}{4}$或3≤b＜$\frac{13}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)對稱性先求拋物線C₂與拋物線C₃的解析式，再分兩種情況：
①在y軸右側(cè)時(shí)，從直線y=-x+b與C₃相切時(shí)到直線過點(diǎn)D時(shí)，這些b值符合條件，計(jì)算出來即可；
②在y軸的左側(cè)，當(dāng)y=-x+b與C₁相切時(shí)和y=-x+b與C₂相切時(shí)，都與C₂有C₁、C₂、C₃組成的圖形恰好有2個(gè)公共點(diǎn)，分別計(jì)算出b的值．

解答 解：拋物線C₁：y=x²-1（-1≤x≤1），頂點(diǎn)E（0，-1），
當(dāng)y=0時(shí)，x=±1，
∴A（-1，0），B（1，0），
當(dāng)拋物線C₂與拋物線C₁關(guān)于點(diǎn)A中心對稱，
∴頂點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)E′（-2，1），
∴拋物線C₂的解析式為：y=-（x+2）²+1=-x²-4x-3，
當(dāng)拋物線C₃與拋物線C₁關(guān)于點(diǎn)B中心對稱，
∴頂點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)E′′（2，1），
∴拋物線C₃的解析式為：y=-（x-2）²+1=-x²+4x-3，
①當(dāng)y=-x+b過D（3，0）時(shí)，b=3，
當(dāng)y=-x+b與C₃相切時(shí)，即與C₃有一個(gè)公共點(diǎn)，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+b}\\{y=-{x}^{2}+4x-3}\end{array}\right.$，
-x²+4x-3=-x+b，
x²-5x+b+3=0，
△=25-4（b+3）=0，
b=$\frac{13}{4}$，
∴當(dāng)3≤b＜$\frac{13}{4}$時(shí)，直線y=-x+b與由C₁、C₂、C₃組成的圖形恰好有2個(gè)公共點(diǎn)，
②當(dāng)y=-x+b與C₁相切時(shí)，即與C₁有一個(gè)公共點(diǎn)，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+b}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，
x²-1=-x+b，
x²+x-1-b=0，
△=1-4（-1-b）=0，
b=-$\frac{5}{4}$，
當(dāng)y=-x+b與C₂相切時(shí)，即與C₂有一個(gè)公共點(diǎn)，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+b}\\{y=-{x}^{2}-4x-3}\end{array}\right.$，
-x²-4x-3=-x+b，
-x²-3x-3-b=0，
△=9-4×（-1）×（-3-b）=0，
b=-$\frac{3}{4}$，
∴當(dāng)b=-$\frac{5}{4}$或-$\frac{3}{4}$時(shí)，直線y=-x+b與由C₁、C₂、C₃組成的圖形恰好有2個(gè)公共點(diǎn)，
綜上所述：當(dāng)b=-$\frac{5}{4}$或-$\frac{3}{4}$或3≤b＜$\frac{13}{4}$時(shí)，直線y=-x+b與由C₁、C₂、C₃組成的圖形恰好有2個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)和拋物線關(guān)于某點(diǎn)中心對稱的問題，有難度，容易漏解，要采用數(shù)形結(jié)合的思想解決此問題，在計(jì)算拋物線C₂與拋物線C₃的解析式時(shí)，利用頂點(diǎn)坐標(biāo)的對稱關(guān)系和開口大小來解決．