Question

如圖AF是⊙O的直徑，以OA為直徑的⊙C與⊙O的弦AB相交于點D，DE⊥OB，垂足為E，求證：
（1）D是AB的中點；
（2）DE是⊙C的切線；
（3）BE•BF=2AD•ED．

Answer 1

證明：（1）連接OD，
∵OA是⊙C的直徑，
∴∠ADO=90°，
∵AB是⊙O的弦，OD是弦心距，
∴AD=BD，即D是AB的中心；

（2）連接CD，
∵C、D分別為AO，AB的中點，
∴CD∥OB，
∵DE⊥OB，
∴DE⊥CD，
∴DE為⊙C的切線；

（3）連接BF，
∵AF是⊙O的直徑，
∴∠ABF=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
又∵∠BED=90°，
∴△ABF∽△BED，
∴=，
∴BE•BF=AB•ED，
∵AB=2AD，
∴BE•BF=2AD•ED．
分析：（1）連接OD，由OA為直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到∠ADO為直角，由AB為圓O的弦，OD垂直于AB，利用垂徑定理得到AD=BD，即可得到D為AB的中點；
（2）連接CD，由D為AB的中點，C為OA的中點，得到CD為三角形AOB的中位線，利用中位線定理得到CD與OB平行，由DE垂直于OB，利用與平行線中的一條垂直，與另一條也垂直得到DE與DC垂直，即可得到DE為圓C的切線；
（3）由AF為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到∠ABF為直角，再由OA=OB，利用等比對等角得到一對角相等，再由一對角為直角，得到三角形BDE與三角形ABF相似，由相似得比例，將AB=2AD代入變形即可得證．
點評：此題考查了切線的判定，垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的判定與性質，三角形的中位線定理，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．