Question

如圖，已知：正方形OABC的面積為9，點O為坐標原點，點A在x軸上，點C在y軸上，點B在函數y=（k＞0，x＞0）的圖象上，點P（m，n）是函數y=（k＞0，x＞0）的圖象上的任意一點，過點P分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，并設矩形OEPF中和正方形OABC不重合部分的面積為S．
（1）求點B坐標和k的值．
（2）當S=時，求P的坐標．
（3）寫出S關于m的函數關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據反比例函數中正方形的面積與反比例系數的關系，即可求得反比例函數解析式，進而求得B的坐標；
（2）根據S=n（m-AO）即可得到方程求解；
（3）根據S=n（m-AO）即可寫出函數解析式．
解答：解：（1）∵正方形OABC的面積為9，
∴OA=OC=3，
∴B（3，3）．
又∵點B（3，3）在函數的圖象上，
∴k=9． （2分）

（2）分兩種情況：
①當點P₁在點B的左側時，
∵P₁（m，n）在函數上，
∴mn=9．
∴
∴，
∴n=6．
∴；
②當點P₂在點B或B的右側時，
∵P₂（m，n）在函數上，
∴mn=9．
∴，
∴，
∴m=6．
∴．（6分）

（3）當0＜m＜3時，S=9-3m；
當m≥3時，當x=m時，P的縱坐標是，
則與矩形OEPF中和正方形OABC重合部分是邊長是3，寬是的矩形，
則面積是：，
因而．（2分）
點評：本題主要考查了反比例函數的系數與矩形的面積的關系，把線段的長的問題轉化為點的坐標問題是解決本題的關鍵．