Question

13．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=3，BC=5，點F是AD上的一點，且DF=2，連接BF交AC于點E．
（1）證明：BF平分∠ABC；
（2）過A作AG⊥BF于點G，求$\frac{EG}{EF}$的值．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD=BC=5，AD∥BC，由平行線的性質(zhì)得出∠AFB=∠CBF，證出AF=AB，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABF=∠AFB，證出∠CBF=∠AFB即可；
（2）由平行線得出△AEF∽△CEB，得出對應(yīng)邊成比例$\frac{EF}{BE}=\frac{AF}{BC}$=$\frac{3}{5}$，由等腰三角形的三線合一性質(zhì)得出BG=FG，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC=5，AD∥BC，
∴∠AFB=∠CBF，AF=AD-DF=5-2=3，
∵AB=3，
∴AF=AB，
∴∠ABF=∠AFB，
∴∠CBF=∠AFB，
∴BF平分∠ABC；
（2）解：∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴$\frac{EF}{BE}=\frac{AF}{BC}$=$\frac{3}{5}$，
∵AB=AF，AG⊥BF，
∴BG=FG，
∴$\frac{EG}{EF}$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定由V型在、平行四邊形的性質(zhì)、比例的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．