Question

12．如圖，點(diǎn)O為弧AB所在圓的圓心，OA⊥OB，點(diǎn)P在弧AB上，AP的延長(zhǎng)線與OB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OP于D．若OP=3，PD=1，則OC=3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)AO⊥OC，CD⊥OD，得到∠AOC=∠D=90°，求得∠DPC=∠OAC，于是得到∠ACO=∠ACD，證得AC平分∠OCD，根據(jù)角平分線定理得到$\frac{OC}{CD}=\frac{OP}{PD}$=3：1，設(shè)OC=3k，CD=k，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：∵AO⊥OC，CD⊥OD，
∴∠AOC=∠D=90°，
∴∠OAP+∠ACO=∠DPC+∠DCP=90°，
∵OA=OP，
∴∠OAP=∠APO，∵∠APO=∠DPC，
∴∠DPC=∠OAC，
∴∠ACO=∠ACD，
∴AC平分∠OCD，
∴$\frac{OC}{CD}=\frac{OP}{PD}$=3：1，
設(shè)OC=3k，CD=k，
∵OD²+CD²=OC²，
即4²+k²=（3k）²，
∴k=$\sqrt{2}$，
∴OC=$3\sqrt{2}$，
故答案為：3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了角平分線定理，垂直的定義，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握角平分線定理是解題的關(guān)鍵．