Question

在矩形ABCD中，點E是AD邊上一點，聯結BE，且∠ABE=30°，BE=DE，聯結BD．點P從點E出發(fā)沿射線ED運動，過點P作PQ∥BD交直線BE于Q．
（1）當點P在線段ED上時（如圖1），且AE=1，

EP

ED

=

2

3

，求PQ的長；
（2）當點P在線段ED上時（如圖1），求證：△ABE∽△CBD．
（3）若BE=DE=4，設PQ長x，以D、P、Q為頂點的三角形的面積為y，求y與x的函數關系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）在RT_^△ABE中，先求出AB、∠BEA，再求出∠EBD=∠EDB=30°，得出BD，再根據PQ∥BD，得出

PQ

BD

=

EP

ED

，再代入計算即可求出PQ；
（2）求出∠BDC=60°，得出∠BDC=∠BEA，再根據∠A=∠C，即可得出△ABE∽△CBD；
（3）分兩種情況討論：當點P在線段ED上時，過點Q作QF⊥AD于點F，根據∠FPQ=∠ADB=30°，得出FQ=

1

2

x，FP=

3

2

x，再根據∠QEF=60°，得出EF=

3

6

x，最后根據y=S_△DPQ=S_△DFQ-S_△PFQ=

1

2

DF•QF-

1

2

PF•QF代入計算，當點P在線段ED的延長線上時，過點Q作QF⊥AD于點F，則AB∥FQ，先求出∠FQE=30°，根據BD∥PQ，得出∠DPQ=∠ADB=30°，QF=

1

2

x，FP=

3

2

x，EF=

3

6

x，最后根據y=S_△DPQ=S_△PFQ-S_△DFQ=

1

2

PF•QF-

1

2

DF•QF代入計算即可．

解答：解：（1）在RT△ABE中，
∵∠ABE=30°，AE=1，
∴AB=

3

，∠BEA=60°，
∵BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB=30°，
∴BD=2AB=2

3

，
∵PQ∥BD，
∴

PQ

BD

=

EP

ED

，
∴

PQ

2 3

=

2

3

，
∴PQ=

4 3

3

；
（2）∵∠EDB=30°，
∴∠BDC=60°，
∴∠BDC=∠BEA，
∵∠A=∠C，
∴△ABE∽△CBD．
（3）

如圖1；當點P在線段ED上時，過點Q作QF⊥AD于點F，
∵PQ∥BD，
∴∠FPQ=∠ADB=30°，
∴FQ=

1

2

QP=

1

2

x，FP=

3

2

x，
∵∠QEF=60°，
∴EF=

3

6

x，
∴y=S_△DPQ=S_△DFQ-S_△PFQ=

1

2

DF•QF-

1

2

PF•QF=

1

2

（4+

3

6

x）•

1

2

x-

1

2

×

3

2

x•

1

2

x=-

3

12

x²+x，
如圖2；當點P在線段ED的延長線上時，過點Q作QF⊥AD于點F，則AB∥FQ，

∵∠ABE=30°，
∴∠FQE=30°，
∵BD∥PQ，
∴∠DPQ=∠ADB=30°，
∴QF=

1

2

QP=

1

2

x，
∴FP=

3

2

x，EF=

3

6

x，
∴y=S_△DPQ=S_△PFQ-S_△DFQ=

1

2

PF•QF-

1

2

DF•QF=

1

2

×

3

2

x•

1

2

x-

1

2

（4+

3

6

x）•

1

2

x=

3

12

x²-x．

點評：此題考查了相似形綜合，用到的知識點是相似三角形的判定與性質、特殊角的三角函數值、三角形的面積，關鍵是根據已知條件畫出圖形，注意分兩種情況討論．