Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，P是AB延長線上一點(diǎn)，PC與⊙O相切于點(diǎn)C，CD⊥AB于點(diǎn)D，過B點(diǎn)作AP的垂線交PC于點(diǎn)F．
（1）求證：E是CD的中點(diǎn)；
（2）若FB=FE=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）延長BF、AC交于點(diǎn)M，則結(jié)合切線可得BF=FM，再結(jié)合平行線分線段成比例可求得CE=DE；
（2）結(jié)合條件可證得PF=AF，在Rt△PFB中，可得到PF和PB的關(guān)系，再結(jié)合PC是切線利用切割線定理可得到PB和PF的關(guān)系，可求得PB的長，則可求得AO的長，即⊙O的半徑．

解答：（1）證明：
如圖，延長BF、AC交于點(diǎn)M，
∵BF⊥AB，∴FB是⊙O的切線，
又CF是⊙O的切線，
∴CF=BF，
∴∠FCB=∠FBC，
又AB為直徑，
∴∠BCM=90°，
∴∠B+∠M=∠BCF+∠FCM=90°，
∴∠FCM=∠M，
∴CF=MF，
∴BF=MF，
∵CD∥MB，
∴

CE

MF

=

AE

AF

=

ED

FB

，
∴CE=ED，
即E是CD的中點(diǎn)；
（2）解：
∵BF=EF=2=FC=FM，
∴∠FCE=∠FEC=∠AED，
又CD⊥AB，
∴∠FAB+∠AED=∠ECF+∠P，
∴∠FAB=∠P，
∴AF=PF，
∴AB=PB，
設(shè)AB=PB=x，PF=y，
則在Rt△PBF中，由勾股定理可得y²=2²+x²①，
又由切割線定理可得（y+2）²=x•2x=2x²②，
則可解得x=4

2

，y=6，
∴AO=

1

2

AB=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線的性質(zhì)及平行線分線段成比例等知識(shí)，在（1）中構(gòu)造△ABM證得F是BM的中點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，在（2）中注意勾股定理和切割線定理的應(yīng)用．