Question

把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角扳ABC的斜邊中點O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不動，讓三角扳DEF繞點O旋轉，設射線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q。

（1）如圖1，當射線DF經過點B，即點Q與點B重合時，易證△APD～△CDQ。此時，AP·CQ=______。
（2）將三角板DEF由圖1所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉，設旋轉角為a．其中 0°<a<90°，問AP·CQ的值是否改變？說明你的理由。
（3）在（2）的條件下，設CQ=x，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數關系式。（圖2，圖3供解題用）

Answer 1

解：（1）8； （2）AP·CQ的值不會改變。 理由如下：在與中， ， ， ， 即， ， ， 。
（3）情形1：如圖4，當時，，即， 此時兩三角板重疊部分為四邊形， 過D作于G，于N， ， 由（2）知：，即， 于是           ； 情形2：如圖5，當時，即， 此時兩三角板重疊部分為， 由于，， 易證：， 即， 解得：， ， 于是， 　綜上所述，當時，； 當時，或。