Question

    如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知Rt△AOB的兩條直角邊OA、OB分別在y軸和x軸上，并且OA、OB的長(zhǎng)分別是方程x²－7x＋12=0的兩根（OA＜OB），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始在線段AO上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始在線段BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）求當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△AOB相似，并直接寫出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo).

（3）當(dāng)t=2時(shí)，在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點(diǎn)M，使以A、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

                     　　　　　　              

                       

 

Answer 1

解：（1）x²－7 x +12=0

        解得x₁=3，x₂=4            ----------------------------------------------------（1分）

         ∵OA＜OB       

 ∴OA=3 , OB=4

         ∴A(0,3) , B(4,0)         --------------------------------------------------（2分）

        

圖1                                      圖2

(2)       由題意得，AP=t,  AQ=5-2t

可分兩種情況討論：

①       當(dāng)∠APQ=∠AOB 時(shí)，△APQ∽△AOB

如圖1     =

          解得 t=         --------------------------------------------------（1分）  

     所以可得  Q（，）--------------------------------------------------（1分）

②        當(dāng) ∠AQP=∠AOB 時(shí)， △APQ∽△ABO

     如圖2    =

         解得  t=         --------------------------------------------------（1分）

     所以可得  Q（，）--------------------------------------------------（1分）

（3） 存在   M₁（，）， M₂（，），M₃（－，）---------------（3分）