Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過M（1，0）和N（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于D（0，3），直線l是拋物線的對稱軸．
（1）求該拋物線的解析式．
（2）若過點(diǎn)A（-1，0）的直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6，求此直線的解析式．
（3）點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，⊙P與直線AB和x軸都相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圖象經(jīng)過M（1，0）和N（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于D（0，3），可利用交點(diǎn)式求出二次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6，得出AC，BC的長，得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，即可利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；
（3）利用三角形相似求出△ABC∽△CBF，即可求出圓的半徑，即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過M（1，0）和N（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于D（0，3），
∴假設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=a（x-1）（x-3），
將D（0，3），代入y=a（x-1）（x-3），得：
3=3a，
∴a=1，
∴拋物線的解析式為：y=（x-1）（x-3）=x²-4x+3；

（2）∵過點(diǎn)A（-1，0）的直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6
∴AC×BC=6，
∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過M（1，0）和N（3，0）兩點(diǎn)，
∴二次函數(shù)對稱軸為x=2，
∴AC=3，
∴BC=4，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，4），
一次函數(shù)解析式為：y=kx+b，
∴，
解得：，
y=x+；
當(dāng)點(diǎn)B在x軸下方，
∵拋物線的對稱軸和x軸圍成的面積為6，
∴B′C=4，
∴B′（2，-4），
∴，
∴
可得：y=-x-；


（3）過點(diǎn)P作FP⊥AB，設(shè)半徑PC=PF=r，當(dāng)點(diǎn)B在x軸上面時(shí)，
∵∠B=∠B，
∠BCA=∠BFP=90°，
∴△BPF∽△BAC，
∴=，即=∴r=1.5，
∵B點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，4），
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，1.5），
如圖2，∵∠B=∠B，
∠BCA=∠BFP=90°，
∴△BPF∽△BAC，
∴=，
即=，
∴r=6，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，-6），
當(dāng)點(diǎn)B在x軸的下面，同理可得出P點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，-1.5）和（2，6），
∴P點(diǎn)坐標(biāo)有4種情況：（2，-1.5）或（2，6）、（2，1.5）或（2，-6）．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點(diǎn)題型特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點(diǎn)也是難點(diǎn)同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握．