Question

如圖，一個(gè)直角三角形紙片的頂點(diǎn)A在∠MON的邊OM上移動(dòng)，移動(dòng)過程中始終保持AB⊥ON于點(diǎn)B，AC⊥OM于點(diǎn)A�！螹ON的角平分線OP分別交AB、AC于D、E兩點(diǎn)。

（1）點(diǎn)A在移動(dòng)的過程中，線段AD和AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）點(diǎn)A在移動(dòng)的過程中，若射線ON上始終存在一點(diǎn)F與點(diǎn)A關(guān)于OP所在的直線對(duì)稱，判斷并說明以A、D、F、E為頂點(diǎn)的四邊形是怎樣特殊的四邊形？
（3）若∠MON=45°，猜想線段AC、AD、OC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想。

Answer 1

解：（1） AE=AD； （2）菱形； 連接DF、EF， ∵點(diǎn)F與點(diǎn)A關(guān)于直線OP對(duì)稱，E、D在OP上， ∴AE=FE，AD=FD， 由（1）得AE=AD， ∴AE=FE=AD=FD， ∴四邊形ADFE是菱形； （3）OC= AC+AD； 證明：連接EF； ∵點(diǎn)F與點(diǎn)A關(guān)于直線OP對(duì)稱， ∴AO=OF， ∵AC⊥OM，∠MON=45°， ∴∠OAC=90°， ∴∠ACO=∠MON=45°， ∴OF=AO=AC， 由（2）知四邊形ADFE是菱形， ∴EF∥AB，AD=EF， ∵AB⊥ON， ∴∠ABC=90°， ∴∠EFC=∠ABC=90°， ∵∠ACO=45° ∴∠ACO=∠CEF， ∴FC=EF=AD， 又∵OC=OF+FC， ∴OC=AC+AD。