Question

4．我國宋朝數(shù)學家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了 （a+b）ⁿ（n為非負整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關規(guī)律．
例如：（a+b）⁰=1，它只有一項，系數(shù)為1；（a+b）¹=a+b，它有兩項，系數(shù)分別為1，1，系數(shù)和為2；（a+b）²=a²+2ab+b²，它有三項，系數(shù)分別為1，2，1，系數(shù)和為4；（（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³，它有四項，系數(shù)分別為1，3，3，1，系數(shù)和為8；…根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題：
（1）（a+b）⁴展開式共有5項，系數(shù)分別為1，4，6，4，1；
（2）（a+b）ⁿ展開式共有n+1項，系數(shù)和為2ⁿ．
（3）根據(jù)上面的規(guī)律，寫出（a+b）⁵的展開式．

Answer 1

分析 （1）本題通過閱讀理解尋找規(guī)律，觀察可得（a+b）ⁿ（n為非負整數(shù)）展開式的各項系數(shù)的規(guī)律：首尾兩項系數(shù)都是1，中間各項系數(shù)等于（a+b）^n-1相鄰兩項的系數(shù)和．因此可得（a+b）⁴的各項系數(shù)分別為1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1即可；
（2）根據(jù)題意得出（a+b）ⁿ展開式共有（n+1）項，當a=b=1時，（a+b）ⁿ=2ⁿ即可．
（3）由（1）得出的規(guī)律，即可得出結果．

解答 解：（1）根據(jù)題意知，（a+b）⁴的展開后，共有5項，
各項系數(shù)分別為1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，
即：1、4、6、4、1；
故答案為：5，1，4，6，4，1
（2）當a=b=1時，（a+b）ⁿ=2ⁿ．
故答案為：n+1，2ⁿ．
（3）根據(jù)題意得：（a+b）⁵的展開式為a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵．

點評 本題考查了完全平方公式、（a+b）ⁿ展開式；關鍵在于觀察、分析已知數(shù)據(jù)，找出規(guī)律是解決問題的關鍵．