Question

11．如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x，y軸分別交于A（2，0）和B（0，8）點C，D分別在OA，AB上，且C（1，0），D（1，m）．
（1）直接寫出該函數(shù)的表達(dá)式和m的值．
（2）若P為OB上的一個動點，試求PC+PD的最小值．
（3）連接CD，若P為y軸上的一動點，△PCD為等腰三角形，試求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，代入法求出m的值，即可解答；
（2）設(shè)點C關(guān)于點O的對稱點為C′，連接C′D交OB于P，則PC=PC′，PC+PD=PC′+PD=C′D，即PC+PD的最小值是C′D．連接CD，在Rt△DCC′中，由勾股定理求得C′D的值，即可解答；
（3）△PCD為等腰三角形時，分三種情況討論：
①當(dāng)PC=PD時，P在CD的垂直平分線上，與y軸交點即為點P；
②當(dāng)CP=CD時，CP=2，以C為圓心，2為半徑畫弧，與y軸交于兩點；
③當(dāng)DP=CD時，以D為圓心，2為半徑畫弧，與y軸交于兩點；共5個解．

解答 解：（1）把A（2，0）和B（0，8）代入一次函數(shù)y=kx+b得：
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{b=8}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-4}\\{b=8}\end{array}\right.$
則一次函數(shù)解析式為y=-4x+8，
把D（1，m）代入y=-4x+8得：
m=-4+8=4．
（2）如圖1，

∵點C的坐標(biāo)為（1，0），
則C關(guān)于y軸的對稱點為C′（-1，0），
又∵點D的坐標(biāo)為（1，4），
連接C′D，設(shè)C′D的解析式為y=kx+b，
有$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴y=2x+2是DC′的解析式，
∵x=0，∴y=2，
即P（0，2）．
∵PC+PD的最小值=C′D，
∴CD=3，CC′=2，
由勾股定理得C′D=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{13}$．
（3）△PCD為等腰三角形時，分三種情況討論：
①當(dāng)PC=PD時，P在CD的垂直平分線上，與y軸交點即為點P，坐標(biāo)為（0，2）；
②當(dāng)CP=CD時，CP=4，以C為圓心，4為半徑畫弧，與y軸交于兩點，坐標(biāo)分別為（0，$\sqrt{15}$），（0，-$\sqrt{15}$）；
③當(dāng)DP=CD時，以D為圓心，4為半徑畫弧，與y軸交于兩點，坐標(biāo)分別為（0，4+$\sqrt{15}$），（0，4-$\sqrt{15}$）；
綜上所述：當(dāng)△PCD為等腰三角形時，點P坐標(biāo)為（0，1）或（0，$\sqrt{15}$），或（0，-$\sqrt{15}$），或（0，4+$\sqrt{15}$），或（0，4-$\sqrt{15}$）

點評 本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用及最短路線問題，用到的知識點是待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，兩點之間線段最短的定理以及勾股定理的運用，本題有一定的難度，注意第（3）問點P有五種情況，不要漏項．