Question

如圖所示，四邊形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°，求證：∠BAC=∠BDC．

Answer 1

考點(diǎn)：四點(diǎn)共圓

專題：證明題

分析：要證∠BAC=∠BDC，只需證明B、C、D、A四點(diǎn)共圓，可過B、C、D三點(diǎn)作圓，設(shè)該圓與直線AB相交于點(diǎn)A′，連接A′D，如圖所示，只需證到點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合即可．

解答：證明：過B、C、D三點(diǎn)作圓，與直線AB相交于點(diǎn)A′，連接A′D，如圖所示，
則B、C、D、A′四點(diǎn)共圓，
所以根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠BA′D+∠BCD=180°．
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BA′D=∠BAD，
∴點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合，
∴B、C、D、A四點(diǎn)共圓，
∴根據(jù)圓周角定理可得∠BAC=∠BDC．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了四點(diǎn)共圓、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理等知識(shí)，運(yùn)用同一法是解決本題的關(guān)鍵．