Question

9．如圖，形如量角器的半圓O的直徑DE=12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm，半圓O以1cm/s的速度從左向右運動，在運動過程中，點D、E始終在直線BC上，設運動時間為t（s），當t=0（s）時，半圓O在△ABC的左側(cè)，OC=8cm．（提示：直角三角形中，30度所對的直角邊是斜邊的一半，反之成立）
（1）當t=0（s）時，點A與圓O的關(guān)系，當t=8（s）時，點A與圓O的關(guān)系；
（2）當t為何值時，△ABC的邊AB所在的直線與半圓O相切？
（3）當△ABC的一邊AB所在的直線與半圓O所在的圓相切時，如果半圓O與直徑DE圍成的區(qū)域與△ABC三邊圍成的區(qū)域有重疊部分，求重疊部分的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線段AC的長度可知當t=0（s）時，點A在半圓外，由條件可知CO=8，在Rt△ACO中可求得AO=4$\sqrt{7}$，所以當t=8時點A在半圓外；
（2）過C點作CF⊥AB，交AB于F點，當半圓O與△ABC的邊AB相切時，圓心O到AB的距離等于6cm，且圓心O又在直線BC上，即當O點運動到C點時，半圓O與△ABC的邊AB相切，此時點O運動了8cm，所求運動時間為t=4；當點O運動到B點的右側(cè)，且OB=12cm時，過點O作OQ⊥直線AB，垂足為Q，利用直角三角形可求得點O運動了32cm，可求出時間t；
（3）由（2）可知當△ABC的一邊AB所在的直線與半圓O所在的圓相切時只有當t=4時符合條件，利用圓扇形的面積可重疊部分的面積．

解答 解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm，
∴AC=4$\sqrt{3}$，
當t=0時，AO=$\sqrt{A{C}^{2}+O{C}^{2}}$=4$\sqrt{7}$＞6，
∴點A在半圓外，
當t=8時，如圖，

此時OC=8，在Rt△ACO中，AC=4$\sqrt{3}$，則AO=4$\sqrt{7}$＞6，
所以點A在半圓外；
（2）①如圖1，過C點作CF⊥AB，交AB于F點；

∵∠ABC=30°，BC=12cm，
∴FO=6cm；
當半圓O與△ABC的邊AB相切時，
又∵圓心O到AB的距離等于6cm，
且圓心O又在直線BC上，
∴O與C重合，
即當O點運動到C點時，半圓O與△ABC的邊AB相切；
此時點O運動了8cm，所求運動時間為t=8÷1=8（s），
②當點O運動到B點的右側(cè)，且OB=12cm時，如圖2，過點O作OQ⊥直線AB，垂足為Q．

在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，則OQ=6cm，
即OQ與半圓O所在的圓相切．此時點O運動了32cm．
所求運動時間為：t=32÷1=32s，
綜上可知當t=8s或32s時，AB與半圓O所在的圓相切；
（3）當半圓O與AB邊相切于M時，如圖1，則半圓O與直徑DE圍成的區(qū)域與△ABC三邊圍成的區(qū)域有重疊部分S=$\frac{1}{4}$π×6²=9π．
答：當△ABC的一邊AB所在的直線與半圓O所在的圓相切時，半圓O與直徑DE圍成的區(qū)域與△ABC三邊圍成的區(qū)域有重疊部分面積為9π．

點評 此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系和點與圓的位置關(guān)系．利用時間t來表示線段之間的關(guān)系是動點問題中是常用的方法之一，要會靈活運用．能根據(jù)圓心到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．