Question

8．如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸相交于點A（-1，0）與B，與y軸相交于點C（0，-3），拋物線的對稱軸為直線x=1．
（1）求此二次函數(shù)的解析式．
（2）若拋物線的頂點為D，點E在拋物線上，且與點C關于拋物線的對稱軸對稱，直線AE交對稱軸于點F，試判斷四邊形CDEF的形狀，并說明理由．
（3）若點M在x軸上，點P在拋物線上，是否存在以A，E，M，P為頂點且以AE為一邊的平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足要求的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得B點坐標，再利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）結論四邊形EFCD是正方形．如圖1中，連接CE與DF交于點K．求出E、F、D、C四點坐標，只要證明DF⊥CE，DF=CE，KC=KE，KF=KD即可證明．
（3）如圖2中，存在以A，E，M，P為頂點且以AE為一邊的平行四邊形．根據(jù)點P的縱坐標為2或-2，即可解決問題．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸相交于點A（-1，0）與B，拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴B（3，0），
把A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）代入y=ax²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3．

（2）結論四邊形EFCD是正方形．
理由：如圖1中，連接CE與DF交于點K．

∵y=（x-1）²-4，
∴頂點D（1，4），
∵C、E關于對稱軸對稱，C（0，-3），
∴E（2，-3），
∵A（-1，0），
設直線AE的解析式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直線AE的解析式為y=-x-1．
∴F（1，-2），
∴CK=EK=1，F(xiàn)K=DK=1，
∴四邊形EFCD是平行四邊形，
又∵CE⊥DF，CE=DF，
∴四邊形EFCD是正方形．

（3）如圖2中，存在以A，E，M，P為頂點且以AE為一邊的平行四邊形．

由題意點P的縱坐標為3或-3，
當y=3時，x²-2x-3=3，解得x=1±$\sqrt{7}$，
可得P₁（1+$\sqrt{7}$，2），P₂（1-$\sqrt{7}$，2），
當y=-2時，x=0，可得P₃（0，-3），
綜上所述當P點坐標為（1+$\sqrt{7}$，3）或（1-$\sqrt{7}$，3）或（0，-3）時，存在以A，E，M，P為頂點且以AE為一邊的平行四邊形．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、一次函數(shù)的應用、正方形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活運用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．