Question

12．如圖1，已知矩形紙片ABCD．按以下步驟進(jìn)行操作：①沿對角線AC剪開（如圖2）；②固定△ADC，將△ABC以2cm/s的速度，沿射線CD的方向運動．設(shè)運動時間為ts，運動中△ABC的頂點A、B、C所對應(yīng)的點分別記作A′、B′、C′，且當(dāng)t=2時，B′與△ACD的頂點A重合．
（1）請在圖3中利用尺規(guī)補(bǔ)全當(dāng)t=1時的圖形（保留作圖痕跡，不寫作法）；（友情提醒：請別忘了標(biāo)注字母！）
（2）若在整個平移過程中，△A′B′C′與△ACD的重疊部分的面積的最大值為3．
①試證明：當(dāng)t=1時△A′B′C′與△ACD的重疊部分的面積取得最大值；
②請直接寫出當(dāng)t=2時點，A′與點C之間的距離$\sqrt{73}$；
③試探究：當(dāng)t為何值時，A′C與B′D恰好互相垂直？

Answer 1

分析 （1）直接利用平移的性質(zhì)分別得出對應(yīng)點C′，B′的位置，進(jìn)而得出A′的位置；
（2）①直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出△A′B′C′與△ACD的重疊部分的面積函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而得出答案；
②根據(jù)已知首先求出AD的長，進(jìn)而利用勾股定理得出答案；
③利用菱形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出答案．

解答 解：（1）如圖1所示：

（2）①如圖1，設(shè)B′C′=b，由題意知，A′B′=AB=2×2=4，
∵DA∥B′C′，
∴△A′AE∽△A′B′C′，
∴$\frac{AE}{B′C′}$=$\frac{AA′}{A′B′}$，
$\frac{AE}$=$\frac{2t}{4}$，
∴AE=$\frac{bt}{2}$，
∴△A′B′C′與△ACD的重疊部分的面積，
S=$\frac{bt}{2}$（4-2t）=-b（t-1）²+b，
∴當(dāng)t=1時，△A′B′C′與△ACD的重疊部分的面積取得最大值；

②如圖1，∵△A′B′C′與△ACD的重疊部分的面積的最大值為3，
∴b=3，
∵當(dāng)t=1時，△A′B′C′與△ACD的重疊部分的面積取得最大值，
∴AE×AB′=3，
∵AE=AA′=AB′=2，
∴AE=$\frac{3}{2}$，
∴AD=3，
如圖2，連接A′C，
∴A′C=$\sqrt{A′{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{73}$；
故答案為：$\sqrt{73}$；

③由題意知，A′B′∥CD，A′B′=CD，
∴四邊形A′B′CD是菱形，
連接A′D，在Rt△A′AD中，AA′=2t，A′D=A′B′=4，AD=3，
由勾股定理得（2t）²+3²=4²，
∴t=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴當(dāng)t=$\frac{\sqrt{7}}{2}$時，A′C和B′D恰好互相垂直．

點評 此題主要考查了四邊形綜合以及菱形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確得出AD的長是解題關(guān)鍵．