Question

11．如圖所示，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，BC=6，DC=$\frac{1}{2}$AD，則cosC=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 取AD的中點(diǎn)M，連BM，得到△BCM是等腰三角形，BM=BC，推出△BCM∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CM•AC=36，
求得AC=3$\sqrt{6}$，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

解答 解：取AD的中點(diǎn)M，連BM，
∵DC=$\frac{1}{2}$AD=MD，
∴△BCM是等腰三角形，BM=BC，
∴∠ABC=∠C=∠CMB，
∴△BCM∽△ABC，
∴$\frac{CM}{BC}=\frac{BC}{AC}$，
∴CM•AC=36，
∵M(jìn)C=$\frac{2}{3}$AC，∴AC=3$\sqrt{6}$，
∴cosC=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{\frac{1}{3}AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．