Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)N（2,－5），過(guò)點(diǎn)N作x軸的平行線(xiàn)交此拋物線(xiàn)左側(cè)于點(diǎn)M，MN=6.

（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；

（2）點(diǎn)P（x,y）為此拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接MP交此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)D，當(dāng)△DMN為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)此拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)C，在此拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q，使∠QMN=∠CNM ？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

 

【解析】（1）把點(diǎn)M、N的坐標(biāo)點(diǎn)入拋物線(xiàn)，即可求得，a,b

（2）由△DMN為直角三角形，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后求出直線(xiàn)MD的解析式，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)

（3）逆向思維，設(shè)存在點(diǎn)Q進(jìn)行解答

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵過(guò)點(diǎn)M、N（2，－5），，

由題意，得M（，）.

∴ 

解得 

∴此拋物線(xiàn)的解析式為. …………………………………2分

（2）設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交MN于點(diǎn)G，

若△DMN為直角三角形，則.

∴D₁（，），（，）. ………………………………………4分

 

直線(xiàn)MD₁為，直線(xiàn)為.

將P（x，）分別代入直線(xiàn)MD₁，

的解析式，

得①，②.

解①得 ，（舍），

∴（1,0）.  …………………………………5分

解②得 ，（舍），

∴（3,－12）.  ……………………………6分

（3）設(shè)存在點(diǎn)Q（x，），

使得∠QMN=∠CNM.

① 若點(diǎn)Q在MN上方，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥MN，

交MN于點(diǎn)H，則.

即.                                     

解得，（舍）.

∴（，3）. ……………………………7分

② 若點(diǎn)Q在MN下方，

同理可得（6，）.  …………………8分