Question

【題目】如圖所示是一個(gè)紙杯，它的母線延長(zhǎng)后形成的立體圖形是圓錐，該圓錐的側(cè)面展開圖是扇形OAB，經(jīng)測(cè)量，紙杯開口圓的直徑為6cm，下底面直徑為4，母線長(zhǎng)EF=9cm，求扇形OAB的圓心角及這個(gè)紙杯的表面積．（結(jié)果保留根號(hào)和π）

Answer 1

【答案】40度 49π

【解析】

（1）設(shè)∠AOB=n°，AO=R，則CO=R-9，利用圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)作為相等關(guān)系列方程，并聯(lián)立成方程組求解即可；
（2）求紙杯的側(cè)面積即為扇環(huán)的面積，需要用大扇形的面積減去小扇形的面積．紙杯表面積=S紙杯側(cè)面積+S紙杯底面積．

解：由題意可知：=6πcm， =4π，設(shè)∠AOB=n，AO=R，則CO=R﹣9， 由弧長(zhǎng)公式得：l=，

∴，

解得：n=40，R=27，

故扇形OAB的圓心角是40度．

∵R=27，R﹣9=18，

∴S扇形OCD= ×4π×18=36π（cm2），

S扇形OAB= ×6π×27=81π（cm2），

紙杯側(cè)面積=S扇形OAB﹣S扇形OCD=81π﹣36π=45π（cm2），

紙杯底面積=π22=4π（cm2）

紙杯表面積=45π+4π=49π（cm2）．