Question

已知關于x的二次函數y=＋(2m＋1)x＋＋2m－．

1．m是什么數值時，y有最小值－2？

2．求證：不論m是什么數值，函數圖像的頂點都在同一條直線l上．

3．求證：任何一條平行于l而與拋物線相交的直線，被拋物線所截的線段長都相等．

Answer 1

答案：
解析：

1．解：y=＋(2m＋1)x＋＋2m－ =＋(2m＋1)x＋＋＋2m－ = ∴拋物線頂點為 當m－=－2時，m=－． ∴當m=－時，y有最小值－2． 2．證明：由頂點坐標x=－=－m－， y=m－． 消去m，得x＋y=－1． ∴y=－x－1． ∴不論m是什么數值，函數圖像的頂點都在同一條直線l： y=－x－1上． 3．證明：設直線：y=－x＋b，滿足∥l且與拋物線相交，下面求交點坐標，得 消y得：－x＋b=＋(2m＋1)x＋＋2m－． 整理得：＋(2m＋2)x＋＋2m－－b=0． Δ=－4 =4b＋5． ∵直線與拋物線相交， ∴4b＋5＞0， ∴x==－m－1±． ∴交點橫坐標為=－m－1＋， ∵直線：y=－x＋b與平行于x軸的直線夾角為， ∴直線與拋物線兩交點線段長為 即．這與m的取值無關，且對于確定的直線： y=－x＋b(b為常數)，是常數． ∴被拋物線y=＋(2m＋1)x＋＋2m－所截的線段長都相等．