Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，BC=3，過點(diǎn)B作BE⊥CD于E，連接AE，∠AEB=60°，F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，且∠BFE=∠C．
（1）求證：△ABF∽△EAD；
（2）求AE的長；
（3）求BF的長．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）可通過證明∠BAF=∠AED，∠AFB=∠D，證得△ABF∽△EAD；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ABE=90°，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出AE的長即可；
（3）利用△ABF∽△EAD，進(jìn)而得出

BF

AD

=

AB

AE

，求出BF的長即可．

解答：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，
∵∠D+∠C=180°，AB∥CD，
∴∠BAF=∠AED．
∵∠AFB+∠BFE=180°，∠D+∠C=180°，∠BFE=∠C，
∴∠AFB=∠D，
∴△ABF∽△EAD；

（2）解：∵BE⊥CD，AB∥CD，
∴BE⊥AB．
∴∠ABE=90°，
∵∠AEB=60°，
∴tan60°=

AB

EB

=

3

，
故BE=

4 3

3

，
則AE=

8 3

3

；

（3）解：∵由（1）知，△ABF∽△EAD，
∴

BF

AD

=

AB

AE

∴

BF

3

=

4

8 3 3

∴BF=

3 3

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，得出△ABF∽△EAD是解題關(guān)鍵．