Question

13．如圖，P為正方形ABCD邊BC上一點，F(xiàn)在AP上，AF=AD，EF⊥AP于F交CD于點E，G為CB延長線上一點，且BG=DE．
（1）求證：∠BAG=$\frac{1}{2}$∠DAP；
（2）求證：AP=GP；
（3）若DE=3，AD=5，求AP的長．

Answer 1

分析 （1）連接AE，由正方形的性質(zhì)及其條件可以得出△ABG≌△ADE，就有∠BAG=∠DAE，再證明Rt△AFE≌Rt△ADE就可以得出結(jié)論；
（2）利用（1）中所求，得出∠DAE=∠GAB，可得：∠GAB=∠EAF，進(jìn)而得出∠G=∠GAP，進(jìn)而得出答案；
（3）由條件可以得出∠GAP=∠BAE，進(jìn)而可以得出∠GAP=∠BGA，在Rt△ABP中，由勾股定理就可以得出結(jié)論．

解答 （1）證明：連接AE
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠ABG=∠ADC=90°．
在△ABG和△ADE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABG=∠ADC}\\{BG=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADE（SAS），
∴∠BAG=∠DAE．
在Rt△AFE和Rt△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AD}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△AFE≌Rt△ADE（HL），
∴∠DAE=∠FAE，
∴∠BAG=$∠DAE=\frac{1}{2}$∠DAP；

（2）證明：由（1）中△ABG≌△ADE，則∠DAE=∠GAB，
可得：∠GAB=∠EAF，
故∠GAE=∠BAD=90°，
則∠GAP=90°-∠EAP，
又∵∠G=90°-∠GAB，
∴∠G=∠GAP，
∴GP=AP；

（3）解：∵∠BAG=∠DAE=∠FAE，
∴∠BAG+∠BAP=∠FAE+∠BAP，
∴∠GAP=∠BAE．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE=∠DEA，
∴∠GAP=∠DEA．
∵△ABG≌△ADE，
∴∠BGA=∠DEA，BG=DE，
∴∠GAP=∠BGA，
∴AP=GP
設(shè)AP=x，則GP=x，BP=GP-BG=x-3
在Rt△BAP中AB²+BP²=AP²，
∴5²+（x-3）²=x²，
解得：x=$\frac{17}{3}$，
答：AP的長為$\frac{17}{3}$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，等腰三角形的判定與性質(zhì)的運用，解答時運用勾股定理求值和證明三角形全等是關(guān)鍵．