Question

（2012•重慶模擬）如圖，已知反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，∠AOB=45°，△AOB的面積為2，一次函數(shù)圖象經(jīng)過A點(diǎn)且與x軸交于C點(diǎn)，tan∠ACB=

1

3

．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求△AOC的面積．

Answer 1

分析：（1）由AB⊥x軸于點(diǎn)B，∠AOB=45°，得到三角形ABO為等腰直角三角形，可得出AB=BO，由此三角形面積為2，得到AB=OB=2，確定出A的坐標(biāo)，將A坐標(biāo)代入反比例解析式中求出k的值，即可確定出反比例解析式，由tan∠ACB及AB的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出BC的長(zhǎng)，由BC-OB求出OC的長(zhǎng)，確定出C的坐標(biāo)，設(shè)一次函數(shù)解析式為y=ax+b，將A與C坐標(biāo)代入求出a與b的值，確定出一次函數(shù)解析式；
（2）三角形AOC的面積可由OC為底邊，A的縱坐標(biāo)為高來求出．

解答：解：（1）由題意得到△AOB為等腰直角三角形，
∴AB=BO，
又∵S_△AOB=2，
∴

1

2

AB•BO=2，
∴AB=BO=2，
∴A（-2，2），
設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=

k

x

，
將A坐標(biāo)代入得：2=

k

-2

，即k=-4，
則反比例解析式為y=-

4

x

；
∵tan∠ACB=

AB

BC

=

1

3

，即

2

2+OC

=

1

3

，
∴OC=4，即C（4，0），
設(shè)一次函數(shù)解析式為y=ax+b，
將A與C坐標(biāo)代入得：

-2a+b=2 4a+b=0

，
解得：

a=- 1 3 b= 4 3

，
故一次函數(shù)解析式為y=-

1

3

x+

4

3

；

（2）∵OC=4，A的縱坐標(biāo)為2，
∴S_△AOC=

1

2

×4×2=4．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，利用了待定系數(shù)法，待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中重要的思想方法，學(xué)生做題時(shí)注意靈活運(yùn)用．