Question

如圖，拋物線m=2與PEDF軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）直接寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）連接BC，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF∥DE交拋物線于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m；
①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長；
②并求出當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）已知了拋物線的解析式，當(dāng)y=0時(shí)可求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)x=0時(shí)，可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）PF的長就是當(dāng)x=m時(shí)，拋物線的值與直線BC所在一次函數(shù)的值的差．可先根據(jù)B，C的坐標(biāo)求出BC所在直線的解析式，然后將m分別代入直線BC和拋物線的解析式中，求得出兩函數(shù)的值的差就是PF的長．
根據(jù)直線BC的解析式，可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的距離公式，可求出DE的長，然后讓PF=DE，即可求出此時(shí)m的值．

解答：解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）

（2）
①設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b．
把B（3，0），C（0，3）分別代入得：

3k+b=0 b=3

解得：k=-1，b=3．
∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x+3．
拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1
當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+3=2，
∴E（1，2）．
當(dāng)x=m 時(shí)，y=-m+3，
∴P（m，-m+3）．
在y=-x²+2x+3 中，當(dāng)x=1 時(shí)，y=4，
∴D（1，4）．
當(dāng)x=m 時(shí)，y=-m²+2m+3，
∴F（m，-m²+2m+3），
∴線段DE=4-2=2，線段PF=-m²+2m+3-（-m+3）；

②∵PF∥DE，
∴當(dāng)PF=ED時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形．
由-m²+3m=2，
解得：m₁=2，m₂=1（不合題意，舍去）．
則當(dāng)m=2時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，平行四邊形的判定，以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題第二問的關(guān)鍵．