Question

2．如圖，△ABC是一塊銳角三角形的余料，它的邊BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成一個矩形零件PQMN，使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，問要使加工成的這個矩形面積最大，那么邊長MN應是多少mm？

Answer 1

分析 PN與AD交于點E，如圖，設MN=xmm，則AE=AD-ED=80-x，再證明△APN∽△ABC，利用相似比可表示出PN=$\frac{3}{2}$（80-x），根據(jù)矩形的面積公式得到S_矩形PQMN=PN•MN=$\frac{3}{2}$（80-x）•x，接著配方得到S_矩形PQMN=-$\frac{3}{2}$（x-40）²+2400，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解．

解答 解：PN與AD交于點E，如圖，設MN=xmm，
易得四邊形MNED為矩形，則ED=MN=x，
∴AE=AD-ED=80-x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴$\frac{PN}{BC}$=$\frac{AE}{AD}$，即$\frac{PN}{120}$=$\frac{80-x}{80}$，
∴PN=$\frac{3}{2}$（80-x），
∴S_矩形PQMN=PN•MN=$\frac{3}{2}$（80-x）•x=-$\frac{3}{2}$（x-40）²+2400，
當x=40時，S_矩形PQMN，有最大值，最大值為2400（mm²）．
答：要使加工成的這個矩形面積最大，那么邊長MN應是40mm．

點評 本題考查了相似三角形的應用：利用影長測量物體的高度；利用相似測量河的寬度（測量距離）；借助標桿或直尺測量物體的高度．也考查了二次函數(shù)的最值問題．