Question

18．已知，如圖，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)．
（1）求證：MN⊥BD；
（2）在邊AD上能否找到一點(diǎn)P，使得PB=PD？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接BM、CM，根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半得到BM=$\frac{1}{2}$AC，DM=$\frac{1}{2}$AC，根據(jù)等腰三角形的三線合一得到答案；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)作圖即可．

解答 解：（1）連接BM、CM，
∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中點(diǎn)，
∴BM=$\frac{1}{2}$AC，DM=$\frac{1}{2}$AC，
∴BM=DM，又N為BD的中點(diǎn)，
∴MN⊥BD；
（2）作線段BD的垂直平分線交AD于P，
根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等可知，
PB=PD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．