Question

已知拋物線y=mx²-4mx+4m-2（m是常數(shù)）．
（1）求拋物線的頂點坐標；
（2）若

1

5

＜m＜5，且拋物線與x軸交于整數(shù)點，求此拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y=ax²+bx+c的頂點（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）即可得出答案；
（2）根據(jù)題意得出mx²-4mx+4m-2=0的根是整數(shù)．再由求根公式求出兩根，根據(jù)m的取值得出拋物線的解析式為y=2x²-8x+6或y=

1

2

x²-2x或y=

2

9

x²-

8

9

x-

10

9

．

解答：解：（1）依題意，得m≠0，
∴x=-

b

2a

=-

-4m

2m

=2，
y=

4ac-b2

4a

=

4m(4m-2)-(-4m)2

4m

=

16m2-8m-16m2

4m

=-2．
∴拋物線的頂點坐標為（2，-2）．（2分）

（2）∵拋物線與x軸交于整數(shù)點，
∴mx²-4mx+4m-2=0的根是整數(shù)．
∴x=

4m± 16m2-4m(4m-2)

2m

=2±

2 2m

2m

．
∵m＞0，
∴x=2±

2 m

是整數(shù)．（3分）
∴

2

m

是完全平方數(shù)．
∵

1

5

＜m＜5，
∴

2

5

＜

2

m

＜10（4分）
∴

2

m

取1，4，9，
當

2

m

=1時，m=2；
當

2

m

=4時，m=

1

2

；
當

2

m

=9時，m=

2

9

．
∴m的值為2或

1

2

或

2

9

．
∴拋物線的解析式為y=2x²-8x+6或y=

1

2

x²-2x或y=

2

9

x²-

8

9

x-

10

9

．（7分）

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點問題、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)的性質(zhì)．