Question

12．如圖，在菱形ABCD中，AB=4，對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn)，E為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE=2，直線OE分別交AB、CD于G、F．
（1）求證：DF=BG；
（2）求DF的長(zhǎng)；
（3）若∠ABC=60°，求tan∠AEO．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出OD=OB，再由平行線的性質(zhì)得出∠OBG=∠ODF，故可得出△BGO≌△DFO，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)O作OK∥AD，由三角形中位線定理得出OK的長(zhǎng)，再判定出△DEF∽△KOF，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論；
（3）過點(diǎn)O作OH⊥AD于點(diǎn)H，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠ADO=30°，∠OAH=60°，設(shè)OH=x，則DH=$\sqrt{3}$x，AH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，再由AD=4可得出x的值，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴OB=OD，AB∥CD，
∴∠OBG=∠ODF．
在△BGO與△DFO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠OBG=∠ODF}\\{OB=OD}\\{∠BOG=∠DOF}\end{array}\right.$，
∴△BGO≌△DFO（ASA），
∴DF=BG；

（2）解：過點(diǎn)O作OK∥AD，
∵點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)，
∴點(diǎn)O是線段AC的中點(diǎn)，
∴OK是△ACD的中線，
∴OK=$\frac{1}{2}$AD=2，DK=$\frac{1}{2}$CD=2．
∵AD∥OK，
∴△DEF∽△KOF，
∴$\frac{OK}{DE}$=$\frac{KF}{DF}$，即$\frac{2}{2}$=$\frac{2-DF}{DF}$，解得DF=1．

（3）解：過點(diǎn)O作OH⊥AD于點(diǎn)H，
∵∠ABC=60°，
∴∠ADO=30°，∠OAH=60°，
設(shè)OH=x，則DH=$\sqrt{3}$x，AH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
∵AD=4，
∴$\sqrt{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=4，解得x=$\sqrt{3}$，
∴HD=3，OH=$\sqrt{3}$，
∴HE=HD+DE=3+2=5，
∴tan∠AEO=$\frac{OH}{HE}$=$\frac{\sqrt{3}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，涉及面較廣，難度較大．