Question

如圖，△OAC中，以O(shè)為圓心，OA為半徑作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于B，垂足為O，連接AB交OC于點(diǎn)D，∠CAD=∠CDA．
（1）判斷AC與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若OA=5，OD=1，求線段AC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知條件“∠CAD=∠CDA”、對(duì)頂角∠BDO=∠CDA可以推知∠BDO=∠CAD；然后根據(jù)等腰三角形OAB的兩個(gè)底角相等、直角三角形的兩個(gè)銳角互余的性質(zhì)推知
∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°．所以線段AC是⊙O的切線；
（2）根據(jù)“等角對(duì)等邊”可以推知AC=DC，所以由圖形知OC=OD+CD；然后利用（1）中切線的性質(zhì)可以在Rt△OAC中，根據(jù)勾股定理來求AC的長(zhǎng)度．
解答：解：（1）線段AC是⊙O的切線；
理由如下：∵∠CAD=∠CDA（已知），∠BDO=∠CDA（對(duì)頂角相等），
∴∠BDO=∠CAD（等量代換）；
又∵OA=OB（⊙O的半徑），
∴∠B=∠OAB（等邊對(duì)等角）；
∵OB⊥OC（已知），
∴∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°，
∴線段AC是⊙O的切線；

（2）設(shè)AC=x（x＞0）．
∵∠CAD=∠CDA（已知），
∴DC=AC=x（等角對(duì)等邊）；
∵OA=5，OD=1，
∴OC=OD+DC=1+x；
∵由（1）知，AC是⊙O的切線，
∴在Rt△OAC中，根據(jù)勾股定理得，
OC²=AC²+OA²，即
（1+x）²=x²+5²，
解得x=12，即AC=12．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了勾股定理、切線的判定與性質(zhì)．欲證某線是圓的切線，只需證明連接圓心與此線過圓上的點(diǎn)的線段（圓的半徑）與該直線垂直即可．