Question

17．如圖，正△ABC的邊長是2，分別以點B、C為圓心，以r為半徑作兩條弧，設(shè)兩弧與邊BC圍成的陰影部分面積為S，當(dāng)$\sqrt{2}≤r＜2$時，S的取值范圍是（　　）

• A． $\frac{π}{2}$-1≤S＜$\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$
• B． $\frac{π}{2}$-1≤S＜$\frac{4π}{3}$-1
• C． 1≤S＜$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}≤S$$＜2\sqrt{3}$-1

Answer 1

分析 首先求出S關(guān)于r的函數(shù)表達式，分析其增減性；然后根據(jù)r的取值，求出S的最大值與最小值，從而得到S的取值范圍．

解答 解：如右圖所示，過點D作DG⊥BC于點G，易知G為BC的中點，CG=1．
在Rt△CDG中，由勾股定理得：DG=$\sqrt{C{D}^{2}-C{G}^{2}}$=$\sqrt{{r}^{2}-1}$．
設(shè)∠DCG=θ，則由題意可得：
S=2（S_扇形CDE-S_△CDG）=2（$\frac{θπ{r}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{{r}^{2}-1}$）=$\frac{θπ{r}^{2}}{180}$-$\sqrt{{r}^{2}-1}$，
∴S=$\frac{θπ•{r}^{2}}{180}$-$\sqrt{{r}^{2}-1}$．
當(dāng)r增大時，∠DCG=θ隨之增大，故S隨r的增大而增大．
當(dāng)r=$\sqrt{2}$時，DG=$\sqrt{{r}^{2}-1}$=1，∵CG=1，故θ=45°，
∴S=$\frac{45π•（\sqrt{2}）^{2}}{180}$-$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-1}$=$\frac{π}{2}$-1；
若r=2，則DG=$\sqrt{{r}^{2}-1}$=$\sqrt{3}$，∵CG=1，故θ=60°，
∴S=$\frac{60π×{2}^{2}}{180}$-$\sqrt{{2}^{2}-1}$=$\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$．
∴S的取值范圍是：$\frac{π}{2}$-1≤S＜$\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$．
故答案為：$\frac{π}{2}$-1≤S＜$\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查扇形面積的計算、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等重要知識點．解題關(guān)鍵是求出S的函數(shù)表達式，并分析其增減性．