Question

12．如圖所示，矩形PDOC的邊OC在x軸上，OD在y軸上，點(diǎn)P在第一象限，雙曲線y=$\frac{k}{x}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，雙曲線y=$\frac{2}{x}$交PD于點(diǎn)B，交PC于點(diǎn)A，四邊形PBOA的面積為6．
（1）求k的值；
（2）連接AB與DC，判斷△PAB與△PCD是否相似，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)得出△OCP的面積=△ODP的面積，由雙曲線的性質(zhì)得出△OAC的面積=△OBD的面積=1，求出矩形PDOC的面積=8，即可得出k的值；
（2）連接OP，由三角形的面積關(guān)系得出PB•PC=PA•PD，得出比例式$\frac{PB}{PD}=\frac{PA}{PC}$，再由公共角相等，即可證出△PAB∽△PCD．

解答 解：（1）∵四邊形PDOC是矩形，
∴△OCP的面積=△ODP的面積，∠OCA=∠ODB=∠CPD=90°，
∵點(diǎn)A在雙曲線y=$\frac{2}{x}$上，
∴△OAC的面積=△OBD的面積=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴△OAP的面積=△OBP的面積=$\frac{1}{2}$四邊形PBOA的面積=3，矩形PDOC的面積=6+1+1=8，
∴k=8；
（2）△PAB與△PCD相似；理由如下：
連接OP，如圖所示：
∵△OCP的面積=△ODP的面積，△OAC的面積=△OBD的面積，
∴△OAP的面積=△OBP的面積=$\frac{1}{2}$四邊形PBOA的面積=3，
∵△OBP的面積=$\frac{1}{2}$PB•PC=3，△OAP的面積=$\frac{1}{2}$PA•PD，
∴PB•PC=PA•PD，
∴$\frac{PB}{PD}=\frac{PA}{PC}$，
又∵∠APB=∠CPD，
∴△PAB∽△PCD．

點(diǎn)評(píng) 本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了常數(shù)k的幾何意義、矩形的性質(zhì)、三角形的面積關(guān)系；由矩形的性質(zhì)和三角形的面積關(guān)系求出k的值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．