Question

如圖，在正方形ABCD中，AB=1，E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，
（1）若CE=CB，CF=CD，則圖中陰影部分的面積是    ；
（2）若CE=CB，CF=CD，則圖中陰影部分的面積是    （用含n的式子表示，n是正整數(shù)）．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先設(shè)BF與DE交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥CD于N，由四邊形ABCD是正方形，易證得△DMN∽△DEC，△FMN∽△FBC，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得，，又由CE=CB，CF=CD，設(shè)MN=x，F(xiàn)N=y，即可得=2，=2，繼而求得MN的長(zhǎng)，則可求得△BCF和△DMF的面積，繼而求得圖中陰影部分的面積；
（2）首先設(shè)BF與DE交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥CD于N，由四邊形ABCD是正方形，易證得△DMN∽△DEC，△FMN∽△FBC，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得，，又由CE=CB，CF=CD，設(shè)MN=x，F(xiàn)N=y，即可得=n，=n，繼而求得MN的長(zhǎng)，則可求得△BCF和△DMF的面積，繼而求得圖中陰影部分的面積．
解答：解：（1）設(shè)BF與DE交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥CD于N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠C=90°，AD∥BC，BC=CD=AB=1，
∴AD∥MN∥BC，
∴△DMN∽△DEC，△FMN∽△FBC，
∴，，
∵CE=CB=，CF=CD=，
∴CE=CD，CF=BC，
∴=2，=2，
設(shè)MN=x，F(xiàn)N=y，
∴=2，=2，
解得：x=，
∴MN=，
∴S_△BCF=BC•CF=×1×=，S_△DFM=DF•MN=××=，S_{正方形ABCD}=1，
∴S_陰影=1--=；

（2）設(shè)BF與DE交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥CD于N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠C=90°，AD∥BC，BC=CD=AB=1，
∴AD∥MN∥BC，
∴△DMN∽△DEC，△FMN∽△FBC，
∴，，
∵CE=CB=，CF=CD=，
∴CE=CD，CF=BC，
∴=n，=n，
設(shè)MN=x，F(xiàn)N=y，
∴=n，=n，
解得：x=，
∴MN=，
∴S_△BCF=BC•CF=×1×=，S_△DFM=DF•MN=×（1-）×=，S_{正方形ABCD}=1，
∴S_陰影=1--=．
故答案為：，．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及三角形面積問(wèn)題．此題難度較大，注意掌握輔助線(xiàn)的作法是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．