Question

14．已知如圖，正方形ABCD中，AD=4，點(diǎn)E在CD上，DE=3CE，F(xiàn)是AD上異于D的點(diǎn)，且∠EFB=∠FBC，則tan∠DFE=$\frac{15}{8}$．

Answer 1

分析 根據(jù)∠EFB=∠FBC，延長EF，BC相交于T，得到等腰△TBF，連接點(diǎn)T和MB的中點(diǎn)O，由△BAF∽△TOB，得到BF²=2AF•BT，設(shè)CT=k，由DF∥CT，得$\frac{DF}{CT}$=$\frac{DE}{EC}$=3，得出FD=3k，列出方程求出k，即可求出∠DFE的正切．

解答 解：如圖：延長EF交BC的延長線于T，設(shè)FB的中點(diǎn)為O，連TO，則OT⊥BF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB=4，∠D=ABC=∠A=90°，
∵∠ABF+∠OBT=90°，
∠OTB+∠OBT=90°，
∴∠ABF=∠OTB，則△BAF∽△TOB，
∴$\frac{AF}{OB}$=$\frac{BF}{BT}$，
∵OB=$\frac{1}{2}$BF，
∴BF²=2AF•BT，
設(shè)CT=k，
∵CD=AD=4，DE=3EC，
∴DE=3，EC=1，
∵DF∥CT，
∴$\frac{DF}{CT}$=$\frac{DE}{EC}$=3，
∴DF=3k，AF=4-3k，BT=4+k，
∴4²+（4-3k）²=2×（4-3k）（4+k），
整理得到：15k²-8k=0，
∴k=$\frac{8}{15}$或0（舍棄）．
∴tan∠DFE=$\frac{DE}{DF}$=$\frac{3}{3k}$=$\frac{1}{k}$=$\frac{15}{8}$．
故答案為$\frac{15}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造等腰三角形，利用相似三角形，構(gòu)建方程解決問題，屬于中考�？碱}型．