Question

2．已知點A、B分別在一次函數(shù)y=x，y=8x的圖象上，其橫坐標分別為a、b（a＞0，b＞O）．若直線AB為一次函數(shù)y=kx+m的圖象，則當$\frac{a}$是整數(shù)時，滿足條件的整數(shù)k的值共有2個．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，可以設A（a，a），B（b，8b），據(jù)此列出關于a、b的方程組，然后通過解方程組知：（a-b）k=a-8b；從而用$\frac{a}$表示出k；再利用換元法（設$\frac{a}$=t）以及整數(shù)的定義求得k值．

解答 解：∵點A，B分別在一次函數(shù)y=x與y=8x的圖象上，
∴設A（a，a），B（b，8b），則有$\left\{\begin{array}{l}{ak+m=a}\\{bk+m=8b}\end{array}\right.$，
消去m得：（a-b）k=a-8b，
∵當a=b時，a=b=0與題意不符合，
∴a≠b，且k=$\frac{a-8b}{a-b}$=$\frac{1-\frac{8b}{a}}{1-\frac{a}}$；
設$\frac{a}$=t，則
k=$\frac{1-8t}{1-t}$=$\frac{8t-1}{t-1}$=$\frac{8（t-1）+7}{t-1}$，即k=8+$\frac{7}{t-1}$；
∵$\frac{a}$是整數(shù)，a＞0，b＞0，t-1≠0，
∴t是整數(shù)，且t＞0，t≠1；
又∵k為整數(shù)，
∴t-1=7或t-1=1，
∴t=8或t=2，
∴k=9或k=15．
故答案為2．

點評 本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的知識，解得該題時，需要討論a與b的數(shù)量關系，以防出現(xiàn)增根．