Question

如圖，△ABC中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，BC∥x軸，AB平分∠CAO．拋物線(xiàn)y=ax²-5ax+4經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）正方形EFGH的頂點(diǎn)E在線(xiàn)段AB上，頂點(diǎn)F在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線(xiàn)上，邊GH在x軸上，求正方形EFGH的邊長(zhǎng)；
（3）設(shè)直線(xiàn)AB與y軸的交點(diǎn)為D，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使∠DPB=45°？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)已知拋物線(xiàn)，利用對(duì)稱(chēng)軸公式代入數(shù)據(jù)即可得出對(duì)稱(chēng)軸，同時(shí)也可以得出C點(diǎn)的坐標(biāo)，利用AC=BC，即可得出A點(diǎn)的坐標(biāo)和B點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)方程即可得出a的值，即得出該拋物線(xiàn)的解析式；
（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為m（m＞0），首先利用待定系數(shù)法求得直線(xiàn)AB的解析式，然后即可求得正方形的邊長(zhǎng)；
（3）作BK⊥x軸于K，再取M（-

3

2

，0）和N（9，0），根據(jù)△DOP∽△PQB 即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)y=ax²-5ax+4經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=4，
∴C（0，4），且拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=-

-5a

2a

=

5

2

，
∴B（5，4），
∵BC∥x軸，AB平分∠CAO，
∴∠CAB=∠BAO，∠BAO=∠ABC，
∴∠CAB=∠ABC，
∴AC=BC=5，
∴AO=

AC2-OC2

=3，
即A（-3，0），
∴9a+15a+4=0，
解得a=-

1

6

∴拋物線(xiàn)的解析式是y=-

1

6

x²+

5

6

x+4；

（2）不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為m（m＞0），
設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為：y=kx+b，

-3k+b=0 5k+b=4

，
解得：

k= 1 2 b= 3 2

，
∴直線(xiàn)AB的解析式為：y=

1

2

x+

3

2

，
當(dāng)y=m時(shí)，x=2m-3，
∴點(diǎn)E（2m-3，m），
∴點(diǎn)F（3m-3，m）
代入拋物線(xiàn)得：-

1

6

（3m-3）²+

5

6

（3m-3）+4=m，
即3m²-9m=0，
解得：m=0或3；
∴正方形EFGH的邊長(zhǎng)為3．

（3）作BK⊥x軸于K，再取M（-

3

2

，0）和N（9，0）
只有當(dāng)點(diǎn)P落在M、O之間和K、N之間各一個(gè)位置能使∠DPB=45°，
如圖，當(dāng)點(diǎn)P在KN上時(shí)，再作PQ⊥BN于Q，可證△DOP∽△PQB 有

DO

OP

=

PQ

QB

，
先求出D（0，

3

2

），再設(shè)P（x，0），
∴

3

2

（4

2

-

9-x

2

）=x•

9-x

2

經(jīng)整理得，2x²-15x-3=0，解得x=

15± 249

4

，應(yīng)取x=

15+ 249

4

…（8分）
同理，當(dāng)當(dāng)點(diǎn)P在AO上時(shí)，4（

3 2

2

-

x+\f(3

2

，

2

)）=

x+\f(3

2

，

2

)（5-x），
經(jīng)整理得，2x²-15x-3=0，解得x=

15± 249

4

，應(yīng)取x=

15- 249

4

…（10分）
綜上所述，在x軸上存在符合要求的兩點(diǎn)P（

15± 249

4

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．