Question

如果一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根x1、x2均為正數(shù)，且滿足1＜＜2（其中x1＞x2），那么稱這個(gè)方程有“鄰近根”．

（1）判斷方程是否有“鄰近根”，并說明理由；

（2）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2-（m-1）x-1=0有“鄰近根”，求m的取值范圍．

 

Answer 1

(1) 方程有“鄰近根”；理由見解析；（2）-2＜m＜-1或-1＜m＜．

【解析】

試題分析：（1）先解方程得到x1=，x2=1，則滿足1＜＜2，所以可判斷方程有“鄰近根”；

（2）根據(jù)判別式的意義得到m≠0且△=（m-1）2-4m×（-1）=（m+1）2≥0，利用求根公式解得x1=1，或，x2=1，則m＜0，然后討論：

若x1=1，，則，是關(guān)于m的正比例函數(shù)，根據(jù)正比例函數(shù)性質(zhì)得到-2＜m＜-1；

若，x2=1，則，是關(guān)于m的反比例函數(shù)，根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)得-1＜m＜，最后綜合得到m的取值范圍．

試題解析：（1）方程有“鄰近根”．理由如下：

∵，

∴（x-1）（x-）=0，

∵x1＞x2，

∴x1=，x2=1，

這時(shí)x1＞0，x2＞0，且，

∵1＜＜2，

∴滿足1＜＜2，

∴方程有“鄰近根”；

（2）由已知m≠0且△=（m-1）2-4m×（-1）=（m+1）2≥0，

∴

∴x1=1，或，x2=1，

∵一元二次方程ax2+bx+c=0有“鄰近根”，

∴x1、x2均為正數(shù)，

∴m＜0

若x1=1，，則，是關(guān)于m的正比例函數(shù)，

∵-1＜0，

∴隨m的增大而減�。�

當(dāng)1＜-m＜2時(shí)，

∴-2＜m＜-1；

若，x2=1，則，是關(guān)于m的反比例函數(shù)，

∵-1＜0，

∴在第二象限，隨m的增大而增大．

當(dāng)1＜＜2時(shí)，

∴-1＜m＜．

綜上，m的取值范圍是-2＜m＜-1或-1＜m＜．

考點(diǎn)：1.根的判別式；2.解一元二次方程-公式法；3.解一元二次方程-因式分解法；4.正比例函數(shù)的性質(zhì)；5.反比例函數(shù)的性質(zhì)．