Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，P為BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，∠EPF=45°．
（1）求證：△BPE∽△CFP．
（2）設(shè)BE=x，△PEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍．
（3）當(dāng)E、F在運(yùn)動(dòng)過程中，∠EFP是否可能等于60°？若可能求出x的值，若不可能請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)求得∠B=∠C=45°；然后由三角形內(nèi)角和定理、鄰補(bǔ)角的定義求得∠BPE=∠CFP，則由“兩角法”證得結(jié)論；
（2）S_△PEF=S_△ABC-S_△BPE-S_△PFC-S_△AEF；
（3）利用反證法證明．假設(shè)當(dāng)E、F在運(yùn)動(dòng)過程中，∠EFP是等于60°．如圖，過點(diǎn)E作EM⊥FP于點(diǎn)M．設(shè)FM=a．構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，通過解圖中的兩個(gè)直角三角形分別求得EM=a．PM=a，EP=a，則==；再利用（1）中的全等三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得到=，解得x的值符合（2）中的取值范圍時(shí)，假設(shè)成立．反之，假設(shè)不成立．
解答：解：（1）如圖，∵在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，
∴∠B=∠C=45°．
又∵∠1=180°-∠EPF-∠3，∠EPF=45°，∠C+∠2+∠3=180°，
∴∠1=135°-∠3，∠2=135°-∠3，
∴∠2=∠3，
∴△BPE∽△CFP．

（2）如圖，∵在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，P為BC的中點(diǎn)，
∴BP=CP=．
由（1）知△BPE∽△CFP，則=，即=，
解得，CF=．
則S_△PEF=S_△ABC-S_△BPE-S_△PFC-S_△AEF
=×2×2-×x×sinB-×××sinC-×（2-x）×（2-）
=2-×x×-×××-×（2-x）×（2-）
=-1++，即y=-1++（1≤x≤2）；

（3）當(dāng)E、F在運(yùn)動(dòng)過程中，∠EFP可能等于60°．理由如下：
假設(shè)當(dāng)E、F在運(yùn)動(dòng)過程中，∠EFP是等于60°．
如圖，過點(diǎn)E作EM⊥FP于點(diǎn)M．
設(shè)FM=a．
在Rt△EMF中，EM=a．
在Rt△EMP中，得到PM=a，EP=a，
則==，
∵△BPE∽△CFP，
∴=，
∴x=3-．
∵1≤x≤2，
∴x=3-符合題意，
∴當(dāng)E、F在運(yùn)動(dòng)過程中，∠EFP可能等于60°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)．在利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例來解題時(shí)，一定要找準(zhǔn)“對(duì)應(yīng)邊”．