Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx-3的圖象與x軸交于點A（-1，0）和點B（3，0），頂點為D，點C是直線l：y=x+5與x軸的交點．

（1）求該二次函數的表達式；

（2）點E是直線l在第三象限上的點，連接EA、EB，當△ECA∽△BCE時，求E點的坐標；

（3）在（2）的條件下，連接AD、BD，在直線DE上是否存在點P，使得∠APD=∠ADB？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）點E的坐標為（-9，-4）；（3）點P的坐標為（-4，-4）或（2，-4），見解析.

【解析】

（1）根據點A，B的坐標，利用待定系數法即可求出二次函數的表達式；

（2）利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標，結合點A，B的坐標利用相似三角形的性質可求出EC的值，過點E作EF⊥x軸于點F，則△CEF為等腰三角形，根據等腰直角三角形的性質可求出CE，EF的值，進而可得出點E的坐標；

（3）利用配方法可求出點D的坐標，進而可得出BD的長度，結合點E的坐標可得出直線DE的函數表達式為y=-4，過點A作AM⊥BD于點M，過點A作AN⊥直線DE于點N，利用面積法可求出AM的值，由∠APD=∠ADB結合正切的定義可求出PN的值，再結合點N的坐標可得出點P的坐標，此題得解．

（1）將A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx-3，

得：，解得：，

∴該二次函數的表達式為y=x2-2x-3；

（2）當y=0時，x+5=0，

解得：x=-5，

∴點C的坐標為（-5，0）．

∵點A的坐標為（-1，0），點B的坐標為（3，0），

∴AC=4，BC=8．

∵△ECA∽△BCE，

∴∠ECA=∠BCE，=，即=，

∴EC=4或EC=-4（舍去），

過點E作EF⊥x軸于點F，如圖1所示，

∵直線l的函數表達式為y=x+5，

∴△CEF為等腰三角形，

∴CE=EF=4，

∴OF=5+4=9，EF=4，

∴點E的坐標為（-9，-4）；

（3）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，

∴點D的坐標為（1，-4），

∴AD=BD==2，

由（2）可知：點E的坐標為（-9，-4），

∴直線DE的函數表達式為y=-4，

過點A作AM⊥BD于點M，過點A作AN⊥直線DE于點N，如圖2所示，

∵點D的坐標為（1，-4），點A的坐標為（-1，0），點B的坐標為（3，0），

∴S△ABD=×[3-（-1）]×4=8，

∴AM===，

∴DM==，

∵∠APD=∠ADB，

∴tan∠APD=tan∠ADB，即=，

∴=，

∴PN=3，

又∵點N的坐標為（-1，-4），

∴點P的坐標為（-4，-4）或（2，-4）．

綜上所述：在直線DE上存在點P（-4，-4）或（2，-4），使得∠APD=∠ADB．