Question

如圖1，是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，為原點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，，．

（1）在邊上取一點(diǎn)，將紙片沿翻折，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖2，若上有一動(dòng)點(diǎn)（不與重合）自點(diǎn)沿方向向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒（），過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)．求四邊形的面積與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)取何值時(shí)，有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的條件下，當(dāng)為何值時(shí)，以為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，并求出相應(yīng)的時(shí)刻點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）依題意可知，折痕是四邊形的對(duì)稱軸，

在中，，．

．．

點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）．

在中，，   又．

 ．   解得：．

點(diǎn)坐標(biāo)為

（2）如圖①，．

，又知，，

， 又．

而顯然四邊形為矩形．

，又

當(dāng)時(shí)，有最大值．

（3）（i）若以為等腰三角形的底，則（如圖①）

在中，，，為的中點(diǎn)，

．

又，為的中點(diǎn)．

過點(diǎn)作，垂足為，則是的中位線，

，，

當(dāng)時(shí)，，為等腰三角形．

此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．

（ii）若以為等腰三角形的腰，則（如圖②）

在中，．

過點(diǎn)作，垂足為．

，．

．

，．

，，

當(dāng)時(shí)，（），此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．

綜合（i）（ii）可知，或時(shí)，以為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或．